予想とちがって変動金利が五年の閉まったく上昇しなかったら、五年間、四%の金利を支払って、二%の変動金利を受け取るという交換が、毎年二%ずつ損、金全体での損益はマイナスになります。
市場の多数の人とちがい、もともとのような予想をしている人がいるとしたら、その人は、銀行と同じ、固定金利を支払って変動金利を受け取る金利スワップをおこなえばいいのです。
予想が当たれば儲かるはずです。
またの予想をしている人は、銀行の取引相手になるような金利スワップ、つまり変動金利を支払って固定金利を受け取る金利スワップをおこなえばいいことになります。
このようにして、金利スワップは、投機にも利用されます。
ただし、先に述べたように、私たちが住宅ローンを借りるときに役に立っていたりします。
変動金利の住宅ローンだけでなく、固定金利の住宅ローンが借りられるために、住宅が買いやすくなったとか、住宅を買ったあとの返済計画が立てやすくなったという人もいるでしょう。
このように、スワップ取引は経済効率を高める役割を果たすこともあり、重要な金融取引手法のひとつであるといえます。
デリバティブ、先物取引、オプション引、スワップ取引の三つを取り上げて説明しました。
その際、株の先物取引における株価は、現物取引との聞のサヤ取りを考えると理論的に計算できる、と述べました。
しかし、オプション取引については、その価格に相当するオプション・プレミアムの計算がどのようにしておこなわれるのか、まだきちんと説明していませんでした。
オプション・プレミアムについてもやはりサヤ取りの考え方が応用されます。
そして、オプション・プレミアムの計算こそが、高等数学とコンピューターを駆使する金融工学の基礎理論の中でも、もっとも難解とされるものなのです。
ここでは、オプション・プレミアムの計算方法について、最初に基本的な考え方を示し、そのつぎに、四則演算記号で計算する方法を紹介します。
さらには、ブラック・ショールズ式と呼ばれる計算公式について説明します。
そして最後に、四則演算だけの計算方法とブラックショールズ式を使う計算方法を、実用性などの面で比較することにします。
不確実な利益について平均、その枚の値ての番号のを求めたものを「期待利益」といいます。
同じ三桁番号の宝くじなのですが、当たりくじがが出るものとします。
三枚あり、一等は三○○○万円、額を計算すると、六○二等は二〇〇○万円、〇〇万円になりますから、三等は一○00万円の賞金それを全体の枚数の一○00で割れば、たりの期待利益が六万円と求められます。
これが宝くじの価格を決める基準となります。
これと同じ計算は、確率を使ってもできます。
一等の三〇〇○万円は一〇〇○枚のうち一枚ですから、それが当たる確率は0・一%(〇〇分となります。
三等の一〇〇○万円も一枚ずつですから、それぞれが当たる確率もやはり二等の二〇〇○万円と0・一%ずつです。
・七%の確率で生じうる利益くじは外れますから、利益がゼロになる確率は九九の金額それぞれに、それが生じる確率を掛けて、その結果を合計すると、待利益が計算できます。
つぎに整理しましょう。
ブラック=ショールズ式を検証するやはり、先の計算と同じように期待利益が六万円と求められました。
ゼロは何を掛けてもゼロのままですから、利益がゼロにスの計算は省いてもかまいません。
オプション・プレミアムの計算も、宝くじの価格の計算も、基本は同じです。
オプション取引をおこない、コールあるいはプット・オンを買うと、そのオプションが状況になれば、差益を得ます。
これは宝くじに当たったのと同じことです。
オプションが行使されない状況では、オプションは何の価値もなく、放棄されますが、これは宝くじが外れたのと同じことです。
ですから、オプションの場合にも、その権利の値段であるオプション・プレミアムでは、株を例にして、オプション・プレミアムの計算の考え方を説明しましょう。
オプションをもっているときの期待利益を計算するという話なのですが、そのためには、いくつも出てきた損益図を利用すると便利です。
ジでオプション取引の損益図として書かれた図をつぎのページに再掲載しましたので、それをみてください。
オプション・プレミアムが五万円であることを前提に書かれていますが、ここでは、そのオプション・プレミアムを今から計算しようというのですから、それが五万円なのか、いくらなのか、わからないことになります。
ですから、オプション・プレミアムを計算するときに使う損益図単に、権利行使価格と満期日の株価の差による利益だけをグラフにしたものとなります。
まず最初は、すごく単純化した例で考えましょう。
株について、権利行使価格がX社一〇〇万コール円の・オプション(買う権利)を買うことにします。
現在の株価は満期日に予想される株価は二通りしかなく、一円下落して株価は九○万円昇して株価はケ一ス、百万円になります。
コール・オンになって、満期日の株価が九○万円なら行使されませんから、損益はゼロになります。
②のケースになって、満期日の株価が三○万円なら、行使され、一○万円の利益をもたらします。
さてここで、①と②の二五○のケースが生じる%ずつだと予想すると、この予確率を予想しましょう。
オプション・プレミアムを求めるには、損益図と確率分布を書いて、そこから期待利益を計算すればよいのです。
このとき何よりも重要なのは、確率分布の書き方です。
確率分布のかたちに応じてオプション・プレミアムの計算結果は異なります。
そして、最初に説明した宝くじとオプション取引を比べると、宝くじの場合には、当たりくじの確率は客観的に決まっているのに対して、オプション取引の場合には、満期日の株価の確率分布を予想するのですから、客観的に正しい予想を示す確率分布などというものは存在しない、という大きなちがいがあります。
そもそも将来の株価の予想が大変にむずかしいことは、すでに述べました。
ですから、オプション・プレミアムの計算においてもっとも大切な、満期日の株価の確率分布は、じつは、ものすごくいい加減にしか書くことができないのです。
宝くじのように確率がきちんと決まっていて、期待利益がきちんと計算できるものとちがって、オプション・プレミアムの計算は本質的にとてもおおざっぱなものなのです。
そして、オプションの満期日の株価が下側のグラフのように予想されるものとします。
満期日して、その確率分布を書きます。
もっとも安い場合がで、もっとも高い場合が10万円と予想し、確率は四%、八五万確率は八八○万円になる。
というようにそれぞれの株価になると思われる確率を棒グラフにしていきます。
もちろん、確率の合計は%になるようにします。
ごとに予想確率を掛けて、それを合計すればいいことになります。
表の一行自に、まず①満期日の「株価」を書き入れ、それぞれの株価の下には、②その株価のときにオプションがもたらす「損益(利益こと、③その株価に想される「確率」。
②は上側のグラフ(なると予を記入します損益図)を元にして、③は下側のグラフ(確率分布)を元にして書きます。
そして、②と③を掛けあわせた数字を、表の最後の行に書き込み、その合計を右端に記入します。
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